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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4. Compruebe que el polinomio de Taylor de orden $n$ de la función $f(x)=e^{x}$ es $p(x)=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}$.
Respuesta
En el Ejercicio 3 (item g) ya nos habíamos dado cuenta que para $f(x) = e^x$, todas sus derivadas evaluadas en $x=0$ nos iban a dar $1$. En su momento calculamos el polinomio de Taylor de orden $5$ y nos había quedado así:
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$ p(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} $
Ahora, te das cuenta que si quisiéramos agregarle un orden más, por ejemplo, hasta el $6$, simplemente agregaría esto:
$ p(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} +\frac{x^6}{6!} $
(porque ya sé que $f^{(6)}(0) = 1$)
En particular, si me quiero ir hasta el orden $n$ (donde $n$ es el natural que se nos ocurra), la forma que va a tener este polinomio es
$p(x)=1+x +\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}$
como nos dice el enunciado :)