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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

4. Compruebe que el polinomio de Taylor de orden $n$ de la función $f(x)=e^{x}$ es $p(x)=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}$.

Respuesta

En el Ejercicio 3 (item g) ya nos habíamos dado cuenta que para $f(x) = e^x$, todas sus derivadas evaluadas en $x=0$ nos iban a dar $1$. En su momento calculamos el polinomio de Taylor de orden $5$ y nos había quedado así:

$ p(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} $

Ahora, te das cuenta que si quisiéramos agregarle un orden más, por ejemplo, hasta el $6$, simplemente agregaría esto:

$ p(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} +\frac{x^6}{6!} $

(porque ya sé que $f^{(6)}(0) = 1$)

En particular, si me quiero ir hasta el orden $n$ (donde $n$ es el natural que se nos ocurra), la forma que va a tener este polinomio es

$p(x)=1+x +\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}$

como nos dice el enunciado :)
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Avatar Caro 1 de junio 11:08
Holi Flor cómo estás? Te hago una consulta. No sé si sea muy importante este ejercicio, pero me acuerdo que lo vimos ayer en clase y no entendí muy bien la explicación de la profe ):
No sé si esta sería una forma válida de justificar por qué la p(x) nos da lo que dicta el enunciado


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Avatar Flor Profesor 1 de junio 20:06
@Caro Jajaja, nono tranqui con esto... "Probar" o "Demostrar" algo para los de matemática es mucho más formal que lo escribiste vos y yo juntas jaja, pero eso no lo evalúan acá en Análisis, así que relax... lo mío tampoco es una demostración formal para nada, la idea es que lo veas conceptualmente 
Avatar Caro 1 de junio 20:29
@Flor Ahh, genial entonces :)) Me quedo tranquila jaja
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